详解C语言处理算经中著名问题百钱百鸡

? 前言

Wassup guys，我是Edison?

今天是C语言每日一练，第117天！

Let's get it！

1. 问题描述

中国古代数学家张丘健在他的 《算经》 中提出了一个著名的 “百钱百鸡问题” ? 一只公鸡值五钱，一只母鸡值三钱，三只小鸡值一钱，现在要用百钱买百鸡，请问公鸡、母鸡、小鸡各多少只？

2. 问题分析

如果用百钱只买公鸡，最多可以买20只，但题目要求买一百只，所以公鸡数量在 0~20 之间。 同理，母鸡数量在 0~33 之间。 在此把公鸡、母鸡和小鸡的数量分别设为cock、hen、chicken，则 c o c k + h e n + c h i c k e n = 100 cock+hen+chicken=100 cock+hen+chicken=100 因此百钱买百鸡问题就转换成解不定方程组的问题了：

3. 算法思路

对于不定方程组，我们可以利用穷举循环的方法来解决。 公鸡范围是 0~20，可用语句for(cock=0; cock<=20; cock++)实现。 钱的数量是固定的，要买的鸡的数量也是固定的，母鸡数量是受到公鸡数量限制的。 同理，小鸡数量受到公鸡和母鸡数量的限制，因此可以利用三层循环的嵌套来解决：第一层循环控制公鸡数量，第二层控制母鸡数量，最里层控制小鸡数量。

4. 代码实现

?

#include <stdio.h>

int main()
{
    int cock = 0;
    int hen = 0;
    int chicken = 0;

    for (cock = 0; cock <= 20; cock++) //外层循环控制公鸡数量取值范围0~20
    {
        for (hen = 0; hen <= 33; hen++) //中层循环控制母鸡数量取值范围0~30
        {
            for (chicken = 0; chicken <= 100; chicken++) //内层循环控制小鸡数量取值范围0~100
            {
                //在内外层循环条件控制下小鸡数量的取值限制用难一组解的合理性
                if ((5*cock + 3*hen + chicken/3.0 == 100) && (cock + hen + chicken == 100))
                {
                    printf("cock=%2d, hen=%2d, chicken=%2d\n", cock, hen, chicken);
                }
            }
        }
    }
    return 0;
}

运行结果?

5. 算法优化

以上算法需要穷举尝试 21 ∗ 34 ∗ 101 = 72114 21 *34*101=72114 21∗34∗101=72114 次，算法的效率明显太低了。 对于本题来说，公鸡的数量确定后，小鸡的数量就是固定为 100 − c o c k − h e n 100-cock-hen 100−cock−hen，无须进行穷举了。 此时约束条件就只有一个： 5 ∗ c o c k + 3 ∗ h e n + c h i c k e n / 3 = 100 5*cock+3*hen+chicken/3=100 5∗cock+3∗hen+chicken/3=100。 这样我们利用两重循环即可实现。

此算法只需尝试 21 ∗ 34 = 714 21 * 34 = 714 21∗34=714 次，实现时约束条件中限定了chicken必须能被3整除。 只有chicken能被3整除时才会继续进行约束条件 5 ∗ c o c k + 3 ∗ h e n + c h i c k e n / 3 = 100 5*cock+3*hen+chicken/3=100 5∗cock+3∗hen+chicken/3=100 的判断。 这样省去了chicken不能被3整除时需要进行的算术计算和条件判断，进一步提高了算法的效率。

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