第十三届蓝桥杯国赛 C++ C组 F 题、Python B组 E 题——近似GCD（AC）

2023-09-01 13:18

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1.近似GCD

1.题目描述

小蓝有一个长度为 $n$ 的数组 $A=\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)$ , 数组的子数组被定义为从原数组中选出连续的一个或多个元素组成的数组。数组的最大公约数指的是数组中所有元素的最大公约数。如果最多更改数组中的一个元素之后, 数组的最大公约数为 $g$ , 那么称 $g$ 为这个数组的近似 GCD。一个数组的近似 GCD 可能有多种取值。

具体的, 判断 $g$ 是否为一个子数组的近似 GCD 如下:

如果这个子数组的最大公约数就是 $g$ , 那么说明 $g$ 是其近似 GCD。

在修改这个子数组中的一个元素之后 (可以改成想要的任何值), 子数组的最大公约数为 $g$ , 那么说明 $g$ 是这个子数组的近似 GCD。

小蓝想知道, 数组 $A $ 有多少个长度大于等于 2 的子数组满足近似 GCD 的值为 $g $ .

2.输入格式

输入的第一行包含两个整数 $n, g$ ，用一个空格分隔，分别表示数组 $A$ 的长度和 $g$ 的值。
第二行包含 $n$ 个正数 $a_1,a_2,⋯,a_n,$ 相邻两个整数之间用一个空格分隔。

3.输出格式

输出一行包含一个整数表示数组 $A$ 有多少个长度大于等于 2 的子数组的近似 GCD 的值为 $g$ 。

4.样例输入

5 3
1 3 6 4 10

5.样例输出

6.数据范围

$2≤n≤10^5,1≤g,ai≤10^9。$

7.原题链接

近似GCD

2.解题思路

首先，如果一个数是g的倍数，那我们称其为符合条件的数。如果一个数组的近似GCD为 $g$ ，那么该数组最多只能有一个数不符合条件。为什么呢？因为如果只有一个不符合条件的数话，我们将其变为g，那么该数组的GCD将为g。如果数组全部符合条件呢？那我们只需要随便将其中一个数变为g，该数组的GCD也将为g。

那么现在问题就转换为存在多少个长度大于2的子数组使得子数组内最多只存在一个不符合条件的数，这个问题我们可以使用双指针解决。右指针r遍历数组的每一个数，左指针l将是以r将作为子数组的右端点的情况下，左端点能最远能到达的距离，也就是使得 $[l, r]$ 区间最多只存在一个不符合条件的数，且 $l$ 和 $r$ 之间的距离尽可能长。这样的话，数组 $[l, r]$ , $[l + 1, r]$ , $[l + 2, r]$ … $[r - 1, r]$ 都是符合条件的答案，总共是r-l个。对于数组的每一个数我们都将其作为r后，累加答案即可。

我们考虑变换数组的值，如果其是符合条件的数，我们将其值赋为1，否则赋为0，对于区间 $[l, r]$ 是否为符合条件的子数组，只需要判断 $s u m [l, r]$ 是否大于等于 $r - l$ 。求区间和 $s u m$ ，我们可以使用前缀和数组直接获取，但由于是双指针，也可以同时维护，这里代码使用了前缀和数组。

时间复杂度: $O (n)$ 。

3.Ac_code

1.C++

#includeusing namespace std;typedef long long LL;typedef unsigned long long uLL;typedef pair<int, int> PII;#define pb(s) push_back(s);#define SZ(s) ((int)s.size());#define ms(s,x) memset(s, x, sizeof(s))#define all(s) s.begin(),s.end()const int inf = 0x3f3f3f3f;const int mod = 1000000007;const int N = 200010;int n, g;void solve(){cin >> n >> g;std::vector<int> a(n + 1);for (int i = 1; i <= n; ++i) {int x;cin >> x;a[i] = (x % g == 0);a[i] += a[i - 1];}int l = 0;LL ans = 0;for (int r = 2; r <= n; ++r) {while (l + 1 < r && a[r] - a[l] < r - l - 1) l++;ans += r - l -1;}cout << ans << '\n';}int main(){ios_base :: sync_with_stdio(false);cin.tie(0); cout.tie(0);int t = 1;while (t--){solve();}return 0;}

2.Python

n,g=map(int,input().split())a=list(map(int,input().split()))a=[0]+aans=0#记录上一个不符合条件的数last=0#记录符合条件子数组的左区间l=1for r in range(1,n+1):    if a[r]%g!=0:        l=last+1        last=r    ans=ans+(r-l)print(ans)