详解Python AdaBoost算法的实现

1. AdaBoost 算法简介

Boosting是机器学习的三大框架之一，其特点是，训练过程中的诸多弱模型，彼此之间有着强依赖关系。Boost也被称为增强学习或提升法。典型的代表算法是AdaBoost算法。AdaBoost算法的核心思想是：将关注点放在预测错误的样本上。

AdaBoost 算法可以概括如下：

①假设共有m个样本数据，首先根据需求划分好训练集数据，按照一般思路，训练出第一个弱模型G1​(x)。

②对第一个弱模型G1​(x)，计算该弱模型的分类错误率（或者说带权错误率，但是因为第一次迭代训练是均等权重的，所以第一次迭代的带权错误率等于普通的分类错误率）。

通过计算的分类错误率来确定该弱模型的权重，并更新训练集数据的权值分布。（这里涉及两个权重不要弄混，先是模型权重，再是样本数据权重）

记模型G1​(x)的权重为α1​，则F1​(x)=0+α1​G1​(x)（因为是第一次迭代，所以上一次可以暂记为0）。

③开始第二次迭代，使用更新后的样本权重再次训练一个弱模型，然后将该弱模型与上一次训练的弱模型G2​(x)，按照一定的规则得到的模型权重进行复合，F2​(x)=F1​(x)+α2​G2​(x)。

遂得到模型F2​(x)。

这里的重点，就在于α1​，α2​等，这些模型的权重的确定。

④循环以上过程n次(从第二次开始，每次计算的模型错误率，是带权错误率)。

（n的值是自己指定的，希望的迭代次数）。

直到得到模型Fn​(x)=Fn−1​(x)+Gn​(x)，即为AdaBoost算法的输出模型，此时的模型Fn​(x)是一个强训练模型。

2. AdaBoost算法 逻辑详解

按照以上思路，下边开始针对其中涉及的细节进行详解。

2.1 数据

首先要面对的，是数据。假设样本数据集D中共有m个样本，并表示如下：

D={(x1​,y1​),(x2​,y2​),...,(xm​,ym​)}

其中xi​是特征向量，yi​是标签。标签的取值可以是1和-1。

AdaBoost算法每次训练模型的时候，使用的可以是从m个样本中抽样抽出的部分样本，但是预测的时候必须统一，测试集必须是固定的m个样本。

2.2 带权错误率

使用AdaBoost算法，每次训练完弱模型后，需要进一步计算出其带权错误率。

带权错误率的公式如下：

如何理解这个式子：其中I()是指示函数，即，当括号内条件满足时值为1，当不满足条件时值为0。

这里括号内的条件，即表示对某样本的分类不正确。可以看出，预测错误的样本越多，该值则越大。

ωij​即第j次迭代中的第i个样本的权重。

在第一次迭代中第一次训练弱模型时，每个样本的初始权重是均等的，均为1/m​。

即每个样本被选中的概率是均等的。AdaBoost算法首先基于该均等的权重训练一个简单的弱学习器。

且因为均等权重，在第一次迭代的输出的弱分类器的带权错误率，是刚好等于预测错误的个数在m个样本中所占的比重的。（即带权错误率等于普通的分类错误率）。

2.3 损失函数 与 确定样本权重

AdaBoost算法的损失函数为指数损失。

以第k次迭代为例，第k次迭代将得到模型Fk​(x)=Fk−1​(x)+αk​G(x)，则Fk​(x)的损失函数函数为：

经简单分析，可以看出，对于每个样本

若预测正确，则指数为负，损失只增加 1 e \frac{1}{e} e1​；

若预测错误，则损失函数的损失会增加e。

将该损失函数进行进一步展开得:

因为Loss，即该表达式整体，表示的是模型Fk​(x)的损失，e^{−yi​αk​Gk​(xi​)}表示的则是第k次迭代中，新训练弱模型，样本和模型都加权后的损失。e^{−yi​Fk−1​(xi​)}表示的则是第k−1次迭代中得到的模型Fk−1​的损失。

鉴于AdaBoost算法是利用上一个弱分类器Fk−1​的准确率(或者说错误率) 和 模型权重来调整数据，以获得下一个分类器。继续观察该表达式，可以清晰地发现，模型Fk​的损失，等于模型Gk​乘以模型权重αk​后，并经过 以模型Fk−1​损失为度量尺度的样本权重的调节，后的损失。所以式子中的e^{−yi​Fk−1​(xi​)}即可以理解为样本权重ωk,i​。

对于每一个样本，如果在上次迭代结果的模型Fk−1​中预测正确，则在第k次迭代中给予较小的样本权重；如果在上次迭代结果的模型Fk−1​中预测错误，则在第k次迭代的预测中给予较大的样本权重，这使得其在第k次迭代中预测的结果将拥有更大的话语权。如果再次预测错误将带来更大的损失。

ωk,i​=e^{−yi​Fk−1​(xi​)}这样的表示还尚不完美，因为要将其作为权重，就还需要进行归一化处理才好。

进一步将Fk−1​再展开可得到每次迭代的样本权重，与上次迭代样本权重之间的关系，并做归一化处理得：

其中Zt​是归一化因子。这里的​，其中ek−1​是第k-1次迭代分类的带权错误率。

可以看到该表达式中还有模型权重αk−1​需要进一步确定。

2.4 确定模型权重

模型权重的确定这一环节，涉及了较为麻烦的推导。这里只讨论逻辑，具体推导过程不再细究。

以第k次迭代为例，第k次迭代将得到模型Fk​(x)=Fk−1​(x)+αk​G(x)，我们需要确定的αk​的值。

以使得AdaBoost算法的损失函数Loss最小为目标，经过一系列麻烦的推导，最终得到

根据该表达式不难看出，分类误差率越大，则对应的弱分类器权重系数也就越小。

2.5 输出模型

最终模型的表达式如下所示：

这里使用了符号函数sign，即若值大于0则表示标签1，小于0则表示标签-1。

3.AdaBoost算法的python实现

首先生成两组高斯分布的数据，用于模型训练和效果展示。

import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
from sklearn.datasets import make_gaussian_quantiles

# 符合高斯分布，均值默认为0，方差为2，200个样本，2个特征，标签有2类，打乱
x1,y1 = make_gaussian_quantiles(
    cov=2,
    n_samples=200,
    n_features=2,
    n_classes=2,
    shuffle=True,
    random_state=1
)
# 满足高斯分布，两个特征，均值都为3，方差为1.5,300个样本数据，标签也有两个类别，打乱
x2,y2 = make_gaussian_quantiles(
    mean=(3,3),
    cov=1.5,
    n_samples=300,
    n_features=2,
    n_classes=2,
    shuffle=True,
    random_state=1
)

# 水平拼接：x1, x2
X = np.vstack((x1,x2))

# 垂直拼接：标签值 
y = np.hstack((y1,y2))

得到了有500个样本的数据集，该数据集有两个特征，标签取值有两种。特征数据为X，标签数据为y。

做数据可视化展示如下：

# 可视化
plt.scatter(X[:,0],X[:,1],c=y)
plt.show()

数据分布图像如下图所示：

然后训练模型：

# 基础模型 使用决策树分类器作为基础模型
from sklearn.tree import DecisionTreeClassifier
# 导入集成模型AdaBoostClassifier
from sklearn.ensemble import AdaBoostClassifier


# 实例化弱模型 设置最大深度为2
weak_classifier = DecisionTreeClassifier(max_depth=2)

# 集成模型 每次训练随机抽取300个样本，学习率为0.8
clf = AdaBoostClassifier(base_estimator=weak_classifier,algorithm="SAMME",n_estimators=300,learning_rate=0.8)
clf.fit(X,y)

为了更直观地展示模型在每个点处的效果，接下来我们绘制等高线图来呈现模型效果。

首先找出两个特征x1和x2的最小值和最大值，然后在原来的基础上分别减一、加一，来构建网格化数据。

x1_min = X[:,0].min()-1
x1_max = X[:,0].max()+1
x2_min = X[:,1].min()-1
x2_max = X[:,1].max()+1
x1_new,x2_new = np.meshgrid(np.arange(x1_min,x1_max),np.arange(x2_min,x2_max))

做预测：

y_t = clf.predict(np.c_[x1_new.ravel(),x2_new.ravel()])

模型预测结果如下：

绘制等高线图，并填充色彩：

y_t = y_t.reshape(x1_new.shape)
plt.contourf(x1_new,x2_new,y_t)

plt.scatter(X[:,0],X[:,1],c=y)
plt.show()

输出图像效果如下：        

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