香农定理与奈奎斯特定理区别详解
马六甲海峡
2024-04-17 23:57
在有随机热噪声的信道上传输数据信号时,信道容量Rmax与信道带宽W,信噪比S/N关系为:Rmax=W*log2(1+S/N)。注意这里的log2是以2为底的对数。
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要搞清楚这两个定理,我们要先弄懂一些定义:波特率(baudrate)、比特率(bitrate)、带宽(bandwidth)、容量(capacity)。
前两个是很容易混淆的定义(谁让这两兄弟名字长得这么像呢),波特率指的是信号每秒钟电平变化的次数,单位是Hz:比如一个信号在一秒钟内电平发生了365次变化,那么这个信号的波特率就是365Hz;比特率是信号每秒钟传输的数据的位数,我们知道在计算机中,数据都是用0,1表示的,所以比特率也就是每秒钟传输0和1的个数,单位是bPS(bitpersecond)。那么这哥俩有啥关系呢?我们可以假设一个信号只有两个电平,那么这个时候可以把低电平理解为“0”,高电平理解为“1”,这样每秒钟电平变化的次数也就是传输的0,1个数了,即比特率=波特率。但是有些信号可能不止两个电平,比如一个四电平的信号,那么每个电平就可以被理解成“00”,“01”,“10”,“11”,这样每次电平变化就能传输两位的数据了,即比特率=2×波特率。一般的,bitrate=buadrate×log2L,这里L就是信号电平的个数。
那就在介绍一下美国数学家、信息论的创始人克劳德艾尔伍德香农(ClaudeElwoodShannon),香农一生的最大贡献主要有两个:一个是信息理论、信息熵的概念,另一个是符号逻辑和开关理论,这些理论为信息论和数字通信奠定了基础。
香农1916年4月30日出生于美国密歇根州的Petoskey,在Gaylord小镇长大。父亲是镇上的法官,母亲是镇里的中学校长,他们为香农提供了一个良好的教育环境。
然而对香农的科学影响最大的还是其祖父,他的祖父曾发明过洗衣机和一些农业机械,给香农造成了最为直接的影响。香农跟著名的发明家爱迪生也有远亲的关系。
IT业的理论奠基人香农逝世13周年纪念
香农的主要成就是它提出了信息熵的概念,他证明了熵与信息内容的不确定程度有等价关系。熵是玻尔兹曼在热力学第二定律引入的概念,指的是分子运动的混乱度。信息熵也有类似的意义,信息熵大,意味着不确定性也大。
熵在控制论、概率论、数论、天体物理和生命科学等领域都有重要应用,在很多领域中都有十分重要的意义。香农是最早将熵引进信息论的人。
香农分别在1948年和1949年在《贝尔系统技术杂志》(BellSystemTechnicalJournal)上发表的题为《通讯的数学原理》以及《噪声下的通信》等两篇论文,阐述了通信的基本问题,给出了通信系统的模型,提出了信息量的数学表达式,并解决了信道容量、信源统计特征、信源编码、信道编码等一系列基本技术问题,被公认为信息论的奠基性著作。
香农在进行信息的定量计算的时候,明确地把信息量定义为随机不定性程度的减少。这就表明了他认为信息是用来减少随机不定性的东西。
虽然香农定义的信息概念比以前有了巨大的进步,但仍然没有将信息的内容和价值包括进来,只考虑了随机不定性,而没有从根本上回答“信息是什么”的问题。
除了信息理论和信息熵的概念之外,香农对人类社会的另一个重大贡献是他提出的符号逻辑和开关理论。
贝尔实验室(BellLab)和麻省理工学院(MIT)都尊崇香农为信息论及数字通信时代的奠基人。是他将布尔代数的“真”与“假”与电路的“开”与“关”对应起来,并用1和0表示。他用布尔代数分析并优化开关电路,这就奠定了数字电路的理论基础,这也是从理论转换到实际产品设计的一个重要的环节。
香农1936年毕业于密歇根大学并获得数学和电子工程学士学位,1940年获得麻省理工学院数学博士学位和电子工程硕士学位,1941年他加入贝尔实验室数学部,工作到1972年,1956年他成为麻省理工学院(MIT)客座教授,1958年成为终生教授,1978年成为名誉教授。香农博士于2001年2月26日去世,享年84岁。
除了在普林斯顿高等研究院工作过一年外,香农一生的大部分时间都在麻省理工学院和贝尔实验室度过。二战期间,香农曾领导贝尔实验室的破译团队进行过破译工作,主要是追踪德国的飞机和火箭。
虽然香农在公众中并不是特别的知名,但他一生获得过许多的荣誉和奖励,例如1949年Morris奖、1955年Ballantine奖、1962年Kelly奖、1966年的国家科学奖章、IEEE的荣誉奖章、1978年Jaquard奖、1983年Fritz奖、1985年基础科学京都奖。
介绍完了这对哥俩,我们再来看看带宽和容量的概念。一般信道都有一个最高的信号频率(注意不是波特率哦,频率是指每秒钟的周期数,而每个周期都会有几次电平变化。。恩,看到区别了吧)和最低的信号频率,只有在这两个频率之间的信号才能通过这个信道,这两个频率的差值就叫做这个信道的带宽,单位是Hz。信道的容量又是怎么回事呢?我们知道数据在信道中传输会有他们的速度——比特率,这里面最高的比特率就叫做这个信道的容量,单位是bps。就好象每条公路都有他们的最高限速,那么所有在里面开的车都不会超过这个速度(这里我们假设违章的都被警察叔叔抓走了)。口语中也会把信道容量叫做“带宽”的,比如“带宽10M的网络”,“网络带宽是10M”等等。所以这两个概念也很容易混淆:我们平常所说的“带宽”不是带宽,而是信道容量。
恩,介绍完定义,再来看看这两个定理说什么。
奈奎斯特定理:
Cmax=2×B×log2L
这里Cmax指的是信道的最大容量,B是信道的带宽,L还是信号电平的个数
奈奎斯特定理适用的情况是无噪声信道,用来计算理论值。一根针掉在地上还有声音呢,没有噪声的信道在现实中是不存在的。那么有噪声的信道该如何计算呢?
这下轮到香农定理出马了:
Cmax=B×log2(1+(S/N))
S/N指的是信道的信噪比,但是我们一般测量出来的以db为单位的是经过10×log10(S/N)换算的,所以这里还要换算回来才行。
香农定理由如下的公式给出:C=W*log2*(1+S/N)其中C是可得到的链路速度,W是链路的带宽,S是平均信号功率,N是平均噪声功率,信噪比(S/N)通常用分贝(dB)表示,分贝数=10×log10(S/N)。
通常音频电话连接支持的频率范围为300Hz到3300Hz,则B=3300Hz-300Hz=3000Hz,而一般链路典型的信噪比是30dB,即S/N=1000,因此我们有C=3000×log2(1+1000),近似等于30Kbps,是28.8Kbps调制解调器的极限,因此如果电话网络的信噪比没有改善或不使用压缩方法,调制解调器将达不到更高的速率。
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