如何实现大整数乘法运算与分治算法

本篇内容主要讲解“如何实现大整数乘法运算与分治算法”，感兴趣的朋友不妨来看看。本文介绍的方法操作简单快捷，实用性强。下面就让小编来带大家学习“如何实现大整数乘法运算与分治算法”吧!

普通乘数运算

对于乘数运算有一种比较简单较为容易理解的方法，我们可以利用小学时期学的列竖式的计算方法进行乘法运算。

列竖式乘法运算

参考上图中的列竖式计算方法，我们进行代码实现。

#include <iostream> #include <string> #include <stdlib.h> #include <vector> #include <cstring> #include <algorithm>  std::string multiply(std::string a, std::string b) {     std::string result = "";     int row = b.size();     int col = a.size() + 1;     int tmp[row][col];     memset(tmp,0, sizeof(int)*row*col);          reverse(a.begin(),a.end());     reverse(b.begin(),b.end());          for(int i = 0; i < b.size(); i++)     {         for(int j = 0; j < a.size(); j++)         {             std::string bit_a = std::string(1, a.at(j));             std::string bit_b = std::string(1, b.at(i));                          tmp[i][j] += std::stoi(bit_a) * std::stoi(bit_b);                      tmp[i][j+1] = tmp[i][j] / 10;             tmp[i][j] %= 10;          }      }      int N =  a.size() + b.size();     int sum[N];     memset(sum, 0, sizeof(int)*N);          for(int n = 0; n < N; n++)     {         int i = 0;         int j = n;                  while (i <= n && j >= 0 )         {             if(i < row && j < col)             {                 sum[n] += tmp[i][j];             }                          i++;             j--;         }          if( n+1 < N )         {             sum[n+1] = sum[n] / 10;             sum[n] %= 10;         }      }      bool zeroStartFlag = true;     for (int i = N-1; i >= 0; i--)     {         if(sum[i]==0 && zeroStartFlag)         {             continue;         }                  zeroStartFlag = false;         result.append(std::to_string(sum[i]));     }          return result; }   int main() {     std::string a = "3456";     std::string b = "1234";      std::string result = multiply(a, b);         std::cout << a << " * " << b << " = " << result <<std::endl;          return 0; }

为了方便我们先将各个乘数做了翻转处理，最后需要再将结果翻转回来。在运算过程中用来存放乘法运算结果的数组，我们没有进行移位处理同列相加，而是对角线相加，这样可以减少空间和运算步骤。上面的代码运行结果如下所示。

运行结果

因为字符串的长度没有特别的限制，所以上面的算法可以适用大整数运算。

分治算法

虽然上面的列竖式的方法可以很好的解决大整数乘法的问题，但是我们还用一种更加高效的方法可以选择，这就是分治(Divide and  Conquer)算法。它是一种非常重要的算法，可以应用到很多领域，比如快速排序，二分搜索等。从算法的名字我们可以看出它是将大的问题拆分进行细化，由大变小，先将小的问题解决，最终将这个问题解决，所以叫Divide  and Conquer。在这里我们可以通过这种方法将大整数进行拆分，拆分成一个个可以通过程序语言直接进行运算的小整进行计算，最后求得到大整数的值。

假设有两个大整数，我们设为a(大小为n位)和b(大小为m位)，这里我们将使用二分法对数据进行拆分，这两个整数我们可以分解为：

则,

令，

根据上面公式里，我们可以将a*b分解为四个小的整数的乘法，即z3,z2,z1,z0四个表达式。如果分解出来的乘法数值还是很大，还可以按照同样的方法进行拆解直到拆解成较小的数值乘法，直到计算机程序语言可以直接运算。

比如，上面的3456和1234相乘，参考下图通过二分法逐级对整数进行拆分，我们将两个整数拆分到一位整数进行运算。

3456和1234拆分步骤图

下面我们看一下分治算法的代码实现，这里我们使用递归的方法。

#include <iostream> #include <string> #include <stdlib.h> #include <vector> #include <cstring> #include <algorithm> #include <cmath>  std::string add(std::string a, std::string b) {     int N = std::max(a.size(), b.size());     int sum[N];     memset(sum, 0, sizeof(int)*N);          reverse(a.begin(),a.end());     reverse(b.begin(),b.end());      for(int i = 0; i< N; i++)     {         int bit_a = 0;         int bit_b = 0;         if(i < a.size()) bit_a = std::stoi(std::string(1, a.at(i)));         if(i < b.size()) bit_b = std::stoi(std::string(1, b.at(i)));          sum[i] += (bit_a + bit_b);          if(i < N-1 && sum[i]>9)         {             sum[i+1] = sum[i] / 10;             sum[i] %=10;         }     }      std::string result="";     bool zeroStartFlag = true;     for (int i = N-1; i >= 0; i--)     {         if(sum[i]==0 && zeroStartFlag)         {             continue;         }                  zeroStartFlag = false;         result.append(std::to_string(sum[i]));     }       return result; }  std::string divideAndConquer(std::string a, std::string b) {     if( a.size() < 2 && b.size() < 2)      {         return std::to_string(std::stoi(a) * std::stoi(b));     }          int n = a.size();     int m = b.size();          int halfN = n/2;     int halfM = m/2;      std::string a0 = "0";     std::string a1 = "0";     if(a.size() > halfN && halfN > 0)     {         a1 = a.substr(0, halfN);         a0 = a.substr(halfN, a.size() - halfN);     }     else     {         a1 = "0";         a0 = a;     }          std::string b0 = "0";     std::string b1 = "0";     if(b.size() > halfM && halfM > 0)     {         b1 = b.substr(0, halfM);         b0 = b.substr(halfM, b.size() - halfM);      }     else     {         b1 = "0";         b0 = b;     }      std::string a1b1 = divideAndConquer(a1, b1);     std::string a0b0 = divideAndConquer(a0, b0);     std::string a1b0 = divideAndConquer(a1, b0);     std::string a0b1 = divideAndConquer(a0, b1);          a1b1.append((n - halfN) + (m - halfM), '0');     a1b0.append(n - halfN, '0');     a0b1.append(m - halfM, '0');      std::string result = "";     result = add(a1b1, a1b0);     result = add(result, a0b1);     result = add(result, a0b0);      return result; }  int main() {     std::string a = "3456";     std::string b = "1234";      std::cout << a << " * " << b << " = " << divideAndConquer(a, b) << std::endl;       return 0; }

程序的运行结果如下：

分治算法运行结果

到此，相信大家对“如何实现大整数乘法运算与分治算法”有了更深的了解，不妨来实际操作一番吧！这里是编程网网站，更多相关内容可以进入相关频道进行查询，关注我们，继续学习！