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Java利用位运算实现加减运算详解

2022-12-31 12:00

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前言

本文主要介绍如何使用位运算来实现加减功能，也就是在整个运算过程中不能出现加减符号。

加减乘除运算在计算机中，实际上都是用位运算实现的，今天就用位运算来模拟下加法和减法的运算功能。

思路分析

先分析如何用位运算实现加法运算。

示例

假设a=23，b=36，使用位运算实现加法得到结果59。

首先来看下23、36、59的二进制信息。

从上面的图中可以看到，两个数相加的结果与两个数异或的结果很相似，只不过在图中的2位置相加的时候，产生了进位，而异或是没有进位的，如果能拿到进位信息，把两个数异或的结果和进位信息的结果相加就能得到最终结果了，那么如果能拿到进位信息呢？

位运算进位

上图中，59的二进制信息可以分为两部分，0110011 和 0001000，再结合23、36的二进制信息来看，0110011为23和36的异或结果，而23和36相与的结果跟0001000很相似，只不过0001000中的1比相与结果往前移了一位。

于是，我们可以得出，两个数的二进制进位信息为两个数的相与在左移一位。

初步结果

经过上面的分析，我们可以得到了一个初步的运算结果，即两个数相加等于两个数异或加上两个数的相与左移1位，也就是a + b = (a ^ b) + ((a & b) << 1)。

先用23和36来验证下。

经过验证可以看到，刚才得出的结论是正确的。

但是，我们要做到在整个运算过程中不能出现加号，接下来要想办法把这个加号给去掉。

去除加号

还是以23和36为例，经过上面的运算我们把运算的位运算结果给化简下。

23 + 36 = (23 ^ 36) + ((23 & 36) << 1) = 51 + 8

也就是把23和36的相加运算转化为了51和8的相加运算，接下来继续分析51和8的相加运算，也是通过异或和相与进行操作。

51 + 8 = (51 ^ 8) + ((51 & 8) << 1) = 59 + 0

嗯？可以发现我们已经得出59了，而且还加了个0，加了个0不就相当于加了个寂寞嘛，可以直接省略啊。

由此，我们又可以得出一个结论，两个数的二进制进位信息为两个数的相与在左移一位，不停地循环这个过程，直到有一个数变为0，就能得到结果。

整体思路

现在来总结下整体的计算过程：

把两个数相加，拆分成两步，两个数异或加上两个数相与左移1位。
判断相与左移的结果是否为0。
如果相与左移为0，两个数异或的结果即为相加的结果。
如果相与左移结果不为0，把得到的新结果，重复执行第1~3步操作。

加法代码实现

经过上面的分析，来看下代码实现。

public class Code19_Add {
   public static int add(int a, int b) {
       int sum = 0;
       while (b != 0) {
           sum = a ^ b;
           b = (a & b) << 1;
           a = sum;
       }
       return sum;
   }
    public static void main(String[] args) {
        int sum = add(23, 36);
        System.out.println(sum);
    }
}

运行程序，输出结果为59。

减法实现

减法分析

还是以23和36为例，如果要计算 36 - 23，该怎么办？

36 - 23 不就相当于36 + (-23)，可以理解为加上一个负数，这就可以了吗？不不不，要求的是不能出现加减符号，-23里面是有减法这个符号的。

还记得前面我们分析的负数可以怎么表示吗？对了，负数是对一个数的取反再加1。嗯？又出现加号了，不过加法我们不是已经实现了吗？直接拿来用就好了。

减法代码实现

有了加法操作，减法就很简单了，来看下代码。

public class Code20_Sub {
    public static int add(int a, int b) {
        int sum = 0;
        while (b != 0) {
            sum = a ^ b;
            b = (a & b) << 1;
            a = sum;
        }
        return sum;
    }
    public static int sub(int a, int b) {
        return add(a, add(~b, 1));
    }
    public static void main(String[] args) {
        int sum = sub(36, 23);
        System.out.println(sum);
    }
}

运行一下输出结果为13。

嗯，Perfect！