C语言浮点数的二进制表示

2023-06-17 13:09

短信预约 -IT技能 免费直播动态提醒

本篇内容介绍了“C语言浮点数的二进制表示”的有关知识，在实际案例的操作过程中，不少人都会遇到这样的困境，接下来就让小编带领大家学习一下如何处理这些情况吧！希望大家仔细阅读，能够学有所成！

浮点数是属于有理数中某特定子集的数的数字表示，在计算机中用以近似表示任意某个实数。具体的说，这个实数由一个整数或定点数（即尾数）乘以某个基数（计算机中通常是2）的整数次幂得到，这种表示方法类似于基数为10的科学记数法。

前几天，我在读一本C语言教材，有一道例题：

#include <stdio.h>  void main(void){  int num=9;  float* pFloat=&num;  printf("num的值为：%d\n",num);  printf("*pFloat的值为：%f\n",*pFloat);  *pFloat=9.0;  printf("num的值为：%d\n",num);  printf("*pFloat的值为：%f\n",*pFloat);  }

运行结果如下：

num的值为：9  *pFloat的值为：0.000000  num的值为：1091567616  *pFloat的值为：9.000000

我很惊讶，num和*pFloat在内存中明明是同一个数，为什么浮点数和整数的解读结果会差别这么大？

要理解这个结果，一定要搞懂浮点数在计算机内部的表示方法。我读了一些资料，下面就是我的笔记。

1、在讨论浮点数之前，先看一下整数在计算机内部是怎样表示的。

int num=9;

上面这条命令，声明了一个整数变量，类型为int，值为9（二进制写法为1001）。普通的32位计算机，用4个字节表示int变量，所以9就被保存为00000000 00000000 00000000 00001001，写成16进制就是0x00000009。

那么，我们的问题就简化成：为什么0x00000009还原成浮点数，就成了0.000000？

2、根据国际标准IEEE 754，任意一个二进制浮点数V可以表示成下面的形式：

V = (-1)^s×M×2^E

（1）(-1)^s表示符号位，当s=0，V为正数；当s=1，V为负数。

（2）M表示有效数字，大于等于1，小于2。

（3）2^E表示指数位。

举例来说，十进制的5.0，写成二进制是101.0，相当于1.01×2^2。那么，按照上面V的格式，可以得出s=0，M=1.01，E=2。

十进制的-5.0，写成二进制是-101.0，相当于-1.01×2^2。那么，s=1，M=1.01，E=2。

IEEE 754规定，对于32位的浮点数，***的1位是符号位s，接着的8位是指数E，剩下的23位为有效数字M。

C语言浮点数的二进制表示

对于64位的浮点数，***的1位是符号位S，接着的11位是指数E，剩下的52位为有效数字M。

C语言浮点数的二进制表示

3、IEEE 754对有效数字M和指数E，还有一些特别规定。

前面说过，1≤M<2，也就是说，M可以写成1.xxxxxx的形式，其中xxxxxx表示小数部分。IEEE 754规定，在计算机内部保存M时，默认这个数的***位总是1，因此可以被舍去，只保存后面的xxxxxx部分。比如保存1.01的时候，只保存01，等到读取的时候，再把***位的1加上去。这样做的目的，是节省1位有效数字。以32位浮点数为例，留给M只有23位，将***位的1舍去以后，等于可以保存24位有效数字。

至于指数E，情况就比较复杂。

首先，E为一个无符号整数（unsigned int）。这意味着，如果E为8位，它的取值范围为0~255；如果E为11位，它的取值范围为0~2047。但是，我们知道，科学计数法中的E是可以出现负数的，所以IEEE 754规定，E的真实值必须再减去一个中间数，对于8位的E，这个中间数是127；对于11位的E，这个中间数是1023。

比如，2^10的E是10，所以保存成32位浮点数时，必须保存成10+127=137，即10001001。

然后，指数E还可以再分成三种情况：

（1）E不全为0或不全为1。这时，浮点数就采用上面的规则表示，即指数E的计算值减去127（或1023），得到真实值，再将有效数字M前加上***位的1。

（2）E全为0。这时，浮点数的指数E等于1-127（或者1-1023），有效数字M不再加上***位的1，而是还原为0.xxxxxx的小数。这样做是为了表示±0，以及接近于0的很小的数字。

（3）E全为1。这时，如果有效数字M全为0，表示±无穷大（正负取决于符号位s）；如果有效数字M不全为0，表示这个数不是一个数（NaN）。

4、好了，关于浮点数的表示规则，就说到这里。

下面，让我们回到一开始的问题：为什么0x00000009还原成浮点数，就成了0.000000？

首先，将0x00000009拆分，得到***位符号位s=0，后面8位的指数E=00000000，***23位的有效数字M=000 0000 0000 0000 0000 1001。

由于指数E全为0，所以符合上一节的第二种情况。因此，浮点数V就写成：

V=(-1)^0×0.00000000000000000001001×2^(-126)=1.001×2^(-146)

显然，V是一个很小的接近于0的正数，所以用十进制小数表示就是0.000000。

5、再看例题的第二部分。