Python求矩阵的范数和行列式
在scipy.linalg的函数中，往往会提供两种参数，其一是check_finite，当为True时将进行有限检查，另一类是overwrite_xxxx，表示xxxx在计算过程中是否可以被覆写。简洁起见，后文中说a提供覆写开关，就表示存在一个参数overwrite_a，当其为True时，a允许计算过程中被覆写；若说提供有限检查开关，则代表提供check_finite参数。
范数
在scipy.linalg中提供了函数norm用来求范数，其定义为
norm(a, ord=None, axis=None, keepdims=False, check_finite=True)
其中ord用于声明范数的阶
| ord | 矩阵范数 | 向量范数 |
|---|---|---|
| None | 弗罗贝尼乌斯范数 | 2-范数 |
'fro' | 弗罗贝尼乌斯范数 | - |
'nuc' | 核范数 | - |
| inf | max(sum(abs(a), axis=1)) | max ( ∣ a ∣ ) |
| -inf | min(sum(abs(a), axis=1)) | min ( ∣ a ∣ ) |
| 0 | - | sum(a!=0) |
| 1 | max(sum(abs(a), axis=0)) | |
| -1 | min(sum(abs(a), axis=0)) | |
| 2 | 2-范数(最大奇异值) | |
| -2 | 最小奇异值 |
若a为向量，若ord为非零整数，记作n nn，设a i a_iai为矩阵a aa中的元素，则矩阵的n nn范数为
核范数又称“迹范数” (trace norm)，表示矩阵的所有奇异值之和。
Frobenius范数可定义为
其实质是向量的2-范数在矩阵中的自然推广。
除了scipy.linalg之外，numpy.linalg中也提供了norm，其参数为
norm(x, ord=None, axis=None, keepdims=False)
其中order的可选参数与scipy.linalg中的norm函数相同。
行列式
在scipy.linalg中，行列式函数为det，其定义非常简单，除了待求矩阵a之外，就只有a的覆写开关和有限检查。
示例如下
import numpy as np
from scipy import linalg
a = np.array([[1,2,3], [4,5,6], [7,8,9]])
linalg.det(a)
# 0.0
a = np.array([[0,2,3], [4,5,6], [7,8,9]])
linalg.det(a)
# 3.0
迹
scipy.linalg不提供trace函数，但是numpy提供，其定义为
umpy.trace(a, offset=0, axis1=0, axis2=1, dtype=None, out=None)
其中
offset为偏移量，表示相对于主对角线的偏移axis1, axis2表示坐标轴dtype用于调整输出值的数据类型
>>> x = np.random.rand(3,3)
>>> print(x)
[[0.26832187 0.64615363 0.09006217]
[0.63106319 0.65573765 0.35842304]
[0.66629322 0.16999836 0.92357658]]
>>> np.trace(x)
1.8476361016546932
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