python非线性规划scipy.optimize.minimize介绍

2023-09-02 16:34

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0. 官方说明

在 python 里用非线性规划求极值，最常用的就是 scipy.optimize.minimize()。最小化一个或多个变量的标量函数。（Minimization of scalar function of one or more variables.）

scipy.optimize.minimize(fun, x0, args=(), method=None, jac=None, hess=None, hessp=None, bounds=None, constraints=(), tol=None, callback=None, options=None)

在python脚本页面中，点击Ctrl+B或者Ctrl+左击，即可查看函数的定义、函数的使用案例。

1. Parameters

fun：需要被最小化的目标函数（objective function）
x0：初始猜想值，形状(n, )
- 大小为 (n,) 的实数元素数组，其中 “n” 是自变量的数量。
args：tuple元组，可选的 Optional
- 传递给目标函数及其导数（fun、jac 和 hess 函数）的额外参数。

method : str or callable, 可选的
求解器的类型，应该从下面选取一种
（如果未给出，则选择 BFGS、L-BFGS-B、SLSQP 之一，具体取决于问题是否有约束或界限。）

      - 'Nelder-Mead' :ref:`(see here) `      - 'Powell'      :ref:`(see here) `      - 'CG'          :ref:`(see here) `      - 'BFGS'        :ref:`(see here) `      - 'Newton-CG'   :ref:`(see here) `      - 'L-BFGS-B'    :ref:`(see here) `      - 'TNC'         :ref:`(see here) `      - 'COBYLA'      :ref:`(see here) `      - 'SLSQP'       :ref:`(see here) `      - 'trust-constr':ref:`(see here) `      - 'dogleg'      :ref:`(see here) `      - 'trust-ncg'   :ref:`(see here) `      - 'trust-exact' :ref:`(see here) `      - 'trust-krylov' :ref:`(see here) `      - custom - a callable object (added in version 0.14.0),

jac: {callable, ‘2-point’, ‘3-point’, ‘cs’, bool}, optional ，目标函数的雅可比矩阵。
bounds：可选项，变量的边界（仅适用于L-BFGS-B，TNC和SLSQP）。以（min，max）对的形式定义 x 中每个元素的边界。如果某个参数在 min 或者 max 的一个方向上没有边界，则用 None 标识。如（None, max）
constraints：约束条件（只对 COBYLA 和 SLSQP）。
bounds：可选项，变量的边界（仅适用于L-BFGS-B，TNC和SLSQP）。以（min，max）对的形式定义 x 中每个元素的边界。如果某个参数在 min 或者 max 的一个方向上没有边界，则用 None 标识。如（None, max）
constraints：约束条件（只对 COBYLA 和 SLSQP）。

2. Returns

res：优化结果
- 优化结果表示为“OptimizeResult”对象。
- 重要的属性是：x 解决方案数组，success 一个布尔标志，指示优化器是否成功退出，message 描述终止原因。有关其他属性的描述，请参阅 OptimizeResult。

3. 案例

1）无约束求极值

计算 1/x+x 的最小值

# coding=utf-8from scipy.optimize import minimizeimport numpy as np #demo 1#计算 1/x+x 的最小值 def fun(args):     a=args     v=lambda x:a/x[0] +x[0]     return v  if __name__ == "__main__":     args = (1)  #a     x0 = np.asarray((2))  # 初始猜测值     res = minimize(fun(args), x0, method='SLSQP')     print(res.fun)  # 函数的最小值     print(res.success)     print(res.x)  # x 解决方案数组

执行结果：

0000000815356342 （函数的最小值）
True
[1.00028559]

2）有约束求极值

例2-1 计算 (2+x1)/(1+x2) - 3x1+4x3 的最小值， x1, x2, x3 都处于[0.1, 0.9] 区间内。

def fun(args):    a,b,c,d = args    v = lambda x: (a+x[0])/(b+x[1]) -c*x[0]+d*x[2]    return v    def con(args):    # 约束条件 分为eq 和ineq    # eq表示 函数结果等于0 ； ineq 表示 表达式大于等于0      x1min, x1max, x2min, x2max, x3min, x3max = args    cons = ({'type': 'ineq', 'fun': lambda x: x[0] - x1min},\            {'type': 'ineq', 'fun': lambda x: -x[0] + x1max},\            {'type': 'ineq', 'fun': lambda x: x[1] - x2min},\            {'type': 'ineq', 'fun': lambda x: -x[1] + x2max},\            {'type': 'ineq', 'fun': lambda x: x[2] - x3min},\            {'type': 'ineq', 'fun': lambda x: -x[2] + x3max})    return cons # 定义常量值args = (2,1,3,4)  # a,b,c,d# 设置参数范围/约束条件args1 = (0.1,0.9,0.1, 0.9,0.1,0.9)  # x1min, x1max, x2min, x2maxcons = con(args1)# 设置初始猜测值  x0 = np.asarray((0.5,0.5,0.5))res = minimize(fun(args), x0, method='SLSQP',constraints=cons)print(res.fun)print(res.success)print(res.x)

执行结果：

0.773684210526435
True
[0.9 0.9 0.1]

例2-2 解决以下优化问题
$minimize_{x[0],x[1]}log_2(1+\frac{x[0]\times2}{3}+log_2\frac{x[1]\times3}{4})$
$s . t .$
$log_2(1+\frac{x[0]\times2}{5})\geq5$
$log_2(1+\frac{x[0]\times6}{4}))\geq5$

# 目标函数def fun(a,b,c,d):    def v(x):        return np.log2(1+x[0]*a/b)+np.log2(1+x[1]*c/d)    return v    #限制条件函数def con(a,b,i):    def v(x):        return np.log2(1 + x[i] * a / b)-5    return v# 定义常量值args = [2, 1, 3, 4]  # a,b,c,dargs1 = [2, 5, 6, 4] # 设置初始猜测值x0 = np.asarray((0.5, 0.5))#设置限制条件cons = ({'type': 'ineq', 'fun': con(args1[0],args1[1],0)},        {'type': 'ineq', 'fun': con(args1[2],args1[3],1)},        )res = minimize(fun(args[0], args[1], args[2], args[3]), x0, constraints=cons)print(res.fun)print(res.success)print(res.x)