目录

1 灰色预测模型

1.1 灰色系统的定义与特点

1.2 灰色预测模型优缺点

1.3 灰色生成数列

1.4 灰色模型GM(1,1)实操步骤

1 数据检验

2 构建灰色模型

3 检验预测值

4 灰色预测模型实例代码

目前我们学习预测模型的第一类：灰色预测模型。

1 灰色预测模型

        Gray Forecast Model 是通过少量的、不完全的信息，建立数学模型并给出预测的一种预测方法。

        目前常用的一些预测方法（如回归分析等），需要较大的样本。若样本较小，则会造成较大误差，使预测目标失效。

        灰色预测模型所需建模信息少，运算方便，建模精度高，在各种预测领域都有着广泛的应用，是处理小样本预测问题的有效工具.

1.1 灰色系统的定义与特点

        灰色系统是黑箱概念的一种推广。我们把既含有已知信息又含有未知信息的系统称为灰色系统。

        （1）用灰色数学处理处理不确定量，使之量化

        （2）充分利用已知信息寻求系统的运动规律

        （3）灰色系统理论能处理贫信息系统

1.2 灰色预测模型优缺点

        适用范围：该模型使用的不是原始数据的序列， 而是生成的数据序列。 核心体系是 Grey Model， 即对原始数据作累加生成（或其他处理生成） 得到近似的指数规律再进行建模的方法。
       

        优点：在处理较少的特征值数据， 不需要数据的样本空间足够大， 就能解决历史数据少、 序列的完整性以及可靠性低的问题， 能将无规律的原始数据进行生成得到规律较强的生成序列。

        缺点：只适用于中短期的预测， 只适合近似于指数增长的预测。需要构建一阶常微分方程来求解拟合函数的函数表达式。

1.3 灰色生成数列

        关键在于如何选择合适的方式去挖掘和利用事物的内在规律。一切灰色序列都能通过某种生成弱化其随机性，显现其规律。数据生成的常用方式有累加生成、累减生成和加权累加生成。

（1）累加生成（AGO）

        设原始数列为x_0=[x_0(1),x_0(2).....x_0(n)]，则x_1(k)=x_0(1)+x_0(2)+......+x_0(n)为原始数列的1次累加生成数列。

         称为x_0的r次累加生成数列。

（2）累减生成（IAGO）

        设原始数列为x_1=[x_1(1),x_1(2).....x_1(n)]，则x_0(k)=x_1(1)+x_1(2)+......+x_1(n)是原始数列的1次累减生成数列。通过累加数列得到的数列可以通过累减生成还原成原始数列。

（3）加权邻值生成

        设原始数列为x_1=[x_1(1),x_1(2).....x_1(n)]，称任意一对相邻元素x_0(k-1),x_0(k)互为邻值。对于常数0

         由此得到的数列称为邻值生成数，权a称为生成系数。当a=0.5时，则称数列为均值生成数。

1.4 灰色模型GM(1,1)实操步骤

1 数据检验

        建模前需要对数据进行检验，首先计算数列的级比

        如果所有的级比都落在可容覆盖区间内

        则数列可以进行灰色预测，否则需要对数据进行适当的变换处理，如平移等。

以下为数据检验的matlab代码： 

%数据检验function [G, params] = GM(A)% G为预测数据，Q为相对残差Q检验，C为方差比C检验% p为小误差概率p检验%建立符号变量a(发展系数)和b(灰作用量)% syms a b;% c = [a u]';n = length(A);%% 级比检验% 对原始数列 A 做累加得到数列 BB = cumsum(A);% 计算级比和光滑比sig = zeros(1,n);rho = zeros(1,n);for i = 2:n    sig(i) = B(i)/B(i-1);    rho(i) = A(i)/B(i-1);endif sum(sig(4:end) >=2 ) == 0 && sum(rho(5:end) >= 0.5) == 0    disp('数据满足光滑条件和指数规律')else    disp('数据不满足光滑条件和指数规律')end

2 构建灰色模型

        定义x_1的灰导数为

         令z_1(k)为数列x_1的邻值生成数列，即

         于是定义GM(1,1)的微分方程模型为

         用回归分析求得a、b的估计值，于是相应的白化模型为

         解为

         于是得到预测值

 实操：

        将k=1，2，3，，，n代入式子中得：

         引入矩阵向量记号

         于是GM(1,1)模型可表示为Y=Bu。

        那么现在的问题是求a和b的问题，我们可以用一元线性回归，也就是最小二乘法求他们的估计值为：

 以下是matlab代码：

%% 数据预测% 对数列 B 做紧邻均值生成C = zeros(n,1);for i = 2:n    C(i) = (B(i) + B(i - 1))/2;  endC(1) = [];% 构造数据矩阵 B = [-C,ones(n-1,1)];Y = A; Y(1) = []; % 使用最小二乘法计算参数 a(发展灰数)和b(内控制灰数)c = inv(B'*B)*B'*Y;a = c(1);u = c(2);% 预测后续数据F(1) = A(1);for i = 2:n+2    % 预测两年的数据    F(i) = (A(1)-u/a)/exp(a*(i-1))+ u/a;end% 对数列 F 累减还原,得到预测出的数据G(1) = A(1);for i = 2:n+2      G(i) = F(i) - F(i-1); %得到预测出来的数据endG = G';

3 检验预测值

        （一）残差检验：计算相对误差

        如果所有得相对误差都小于0.1，则认为达到较高的要求。小于0.2，则达到一般要求。

        （二）关联度检验

        （三）方差比C检验

        （四）小误差概率p检验

以下为matlab代码：

%% 精度检验H = G(1:n);% 计算残差序列epsilon = A - H;% 法一：相对残差Q检验（MAPE）% 计算相对残差delta = abs(epsilon./A);% 计算相对误差平均值QQ = mean(delta);% 计算所对应的的绝对误差百分比MAPE = abs(sum(epsilon./A)/(n-1))*100;% 法二：关联度检验r = sum((min(min(abs(epsilon)))+0.5*max(max(abs(epsilon))))./(abs(epsilon)+0.5*max(max(abs(epsilon)))))/n;% 法三：方差比C检验C = std(epsilon, 1)/std(A, 1);% 法四：小误差概率P检验S1 = std(A, 1);tmp = find(abs(epsilon - mean(epsilon))< 0.6745 * S1);P = length(tmp)/n;params = [a,u,r,C,P,MAPE];end

4 灰色预测模型实例代码

原始数据：A=[71.1 72.4 72.4 72.1 71.4 72.0 71.6]'

function [G, params] = GM(A)% G为预测数据，Q为相对残差Q检验，C为方差比C检验% p为小误差概率p检验%建立符号变量a(发展系数)和b(灰作用量)% syms a b;% c = [a u]';n = length(A);%% 级比检验% 对原始数列 A 做累加得到数列 BB = cumsum(A);% 计算级比和光滑比sig = zeros(1,n);rho = zeros(1,n);for i = 2:n    sig(i) = B(i)/B(i-1);    rho(i) = A(i)/B(i-1);endif sum(sig(4:end) >=2 ) == 0 && sum(rho(5:end) >= 0.5) == 0    disp('数据满足光滑条件和指数规律')else    disp('数据不满足光滑条件和指数规律')end%% 数据预测% 对数列 B 做紧邻均值生成C = zeros(n,1);for i = 2:n    C(i) = (B(i) + B(i - 1))/2;  endC(1) = [];% 构造数据矩阵 B = [-C,ones(n-1,1)];Y = A; Y(1) = []; % 使用最小二乘法计算参数 a(发展灰数)和b(内控制灰数)c = inv(B'*B)*B'*Y;a = c(1);u = c(2);% 预测后续数据F(1) = A(1);for i = 2:n+2    % 预测两年的数据    F(i) = (A(1)-u/a)/exp(a*(i-1))+ u/a;end% 对数列 F 累减还原,得到预测出的数据G(1) = A(1);for i = 2:n+2      G(i) = F(i) - F(i-1); %得到预测出来的数据endG = G';%% 精度检验H = G(1:n);% 计算残差序列epsilon = A - H;% 法一：相对残差Q检验（MAPE）% 计算相对残差delta = abs(epsilon./A);% 计算相对误差平均值QQ = mean(delta);% 计算所对应的的绝对误差百分比MAPE = abs(sum(epsilon./A)/(n-1))*100;% 法二：关联度检验r = sum((min(min(abs(epsilon)))+0.5*max(max(abs(epsilon))))./(abs(epsilon)+0.5*max(max(abs(epsilon)))))/n;% 法三：方差比C检验C = std(epsilon, 1)/std(A, 1);% 法四：小误差概率P检验S1 = std(A, 1);tmp = find(abs(epsilon - mean(epsilon))< 0.6745 * S1);P = length(tmp)/n;params = [a,u,r,C,P,MAPE];end

来源地址：https://blog.csdn.net/vcvvcvx/article/details/128953595