R语言实现广义线性回归模型
广义线性模型(GLM)是常见正态线性模型的直接推广,它可以适用于连续数据和离散数据,特别是后者,如属性数据、计数数据。这在应用上,尤其是生物、医学、经济和社会数据的统计分析上,有着重要意义。
对于广义线性模型应有一下三个概念:
- 第一是线性自变量,它表明第i个响应变量的期望值E(yi)只能通过线性自变量βTxi而依赖于xi,其中如通常一样,β是未知参数的(p+1)x1向量,可能包含截距。
- 第二是连续函数,它说明线性自变量和E(yi)的关系,给出了线性模型的推广。
- 第三是误差函数,它说明广义线性模型的最后一部分随机成分。
我们保留样本为相互独立的假设,但去掉可加和正态误差的假设。可以从指数型分布族中作选一个作为误差函数。
1 与广义线性模型有关的R函数
R软件提供了拟合计算广义线性模型的函数glm(),其命令格式如下:
其中:
- formula是拟合公式,这里的意义与线性模型相同,
- family是分布族,即前面讲到的广义线性模型的种类,如正态分布,Poisson分布,二项分布等。
- data是数据框,这里的意义与线性模型相同。
对于每个分布族(family),提供了相应的连接函数,如表6.12所示:
有了这些分布族和连接函数,我么就可以完成相应的广义线性模型的拟合问题。
2 正态分布族
正态分布族的使用方法是:
式中link=identity可以不写,因为正态分布族的连接函数缺省值是恒等(identity)。事实上,整个参数family = gaussian也可以不写,因为分布族的缺省值就是正态分布。
从表6.11可以看出,正态分布族的广义线性模型实际上与线性模型是相同的,也就是说:
与线性模型
有完全相同的计算结果,但效率却低的多。
3 二项分布族
在二项分布族中,logistic回归模型是最重要的模型。在某些回归问题中,相应变量使分类的,经常是或者成功,或者失败。对于这些问题,正态线性模型显然是不合适的,因为正态误差不对应一个0-1相应。在这种情况下,可用一种重要的方法称为logistic回归。
用R软件计算logistic回归模型的公式为:
式中link=logit可以不写,因为logit是二项分布族连接函数是缺省状态。
在用glm()函数做logistic回归模型使,对于公式formula有两种输入方法,一种是输入成功和失败的次数,另一种像线性模型通常数据的输入方式。
例 R. Norell实验
为研究高压电线对牲畜的影响,R.Norell研究小的电流对农场动物的影响。他在实验中,选择了7头,6种电流强度,0,1,2,3,4,5毫安。每头牛被点击30下,每种强度5下,按随机的次序进行。然后重复整个实验,每头牛总共被点击60下。对每次电击,相应变量——嘴巴运动,或者出现,或者未出现。表6.13中的数据给出每种电击强度70次实验中相应的总次数。试分析电击对牛的影响。
解:用数据框形式输入数据,在构造矩阵,一列是成功(响应)的次数,另一列是失败(不响应)的次数,然后在做logistic回归。其程序如下:
首先构造出的数据框如下:
对构造好的数据框进行处理如下:
构建logistic模型如下:
与线性回归模型相同,在得到回归模型后,可以作出预测。例如,当电流强度为3.5毫安时,有相应的牛的概率为多少?
即:74.26%。
可以作出控制,如有50%的牛有相应,其电流强度为多少?
即:2.65毫安的电流强度,可以使50%的牛有响应。
最后画出相应的比例与logistic回归曲线。R软件的绘图命令如下:
在程序中,d是给出曲线横坐标的点,pre是计算预测值,p是相应的预测概率。用plot函数和lines函数给出散点图和对应的预测曲线。
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