R语言非线性模型的实现

2024-04-02 19:55

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什么是非线性回归

在非线性回归中，分析师通常采用一个确定的函数形式和相应的参数来拟合数据。最常用的参数估计方法是利用非线性最小二乘法（R中的nls函数）。该方法使用线性函数来逼近非线性函数，并且通过不断迭代这个过程来得到参数的最优解（本段来自维基百科）。非线性回归的良好性质之一是估计出的参数都有清晰的解释（如Michaelis-Menten模型的Vmax是指最大速率），而变换数据后得到的线性模型其参数往往难以解释。

实例一

首先，绘制出原数据的散点图。代码试下如下：


data9.3<-read.csv("C:/Users/Administrator/Desktop/data9.3.csv",head=TRUE)
attach(data9.3)
plot(x,y)

输出结果为：

在这里插入图片描述

可以看出，这时 y 与 x之间呈现出非线性，因此需要对数据进行非线性回归分析。

代码实现如下：


nls9.3<-nls(y~a-a/(1+(x/c)^b),start=list(a=100,b=5,c=4.8))
summary(nls9.3)
e<-resid(nls9.3)
ebar<-mean(e)
SE<-deviance(nls9.3)  # 残差平方和，由于e的均值不等于0，所以SE不等于残差的离差平方和
SSE<-sum((e-ebar)^2)  # 残差的离差平方和
prey<-fitted(nls9.3)  # y的预测值
pybar<-mean(prey)  # y的预测值的均值
ybar<-mean(y)  # y的均值
SST<-sum((y-ybar)^2)  # 总离差平方和
Rsquare<-1-SE/SST  # 相关指数

输出结果为：

在这里插入图片描述

　　由以上输出结果可知，对参数的估计经过6步迭代计算后收敛，而且相关指数 R² = 0.9986，说明非线性回归拟合效果很好。同时，上述结果中对参数的显著性检验显示参数均通过显著性检验。

　　但是，在小样本的情况下，不可线性化的非线性回归的残差通畅不满足正态性，进而使用 t分布进行检验也是无效的，因此显著性检验的结果并不具有重要意义。

　　另外，听过对中间量的查看，回归的利差平方和 S S R = 15156.55 ，而总离差平方和 S S T = 14917.89<S S R ，可见非线性回归不再满足平方和分解式。

　　该实例中残差均值为 0.2856 ≠ 0，当然，如果回归拟合的效果好，残差均值会接近0.

　　通过上述分析可以认为， y与 x符合下面的非线性回归：

实例二——Gompertz模型

回归实现的代码如下：


data9.4<-read.csv("C:/Users/Administrator/Desktop/data9.4.csv",head=TRUE)
y<-data9.4[,2]
t<-data9.4[,1]
model<-nls(y~k*(a^(b^t)),start=list(a=0.5,b=0.5,k=120),lower=c(0,0,116),upper=c(1,1,10000),algorithm="port")
summary(model)
c<-coef(model)  # 将模型的回归系数赋值给c
tt<-c(1:30)
yp<-c[3]*(c[1]^(c[2]^tt))  # 计算时间取值为tt时对应的y的预测值
t1=t+1979  # 计算对应的年份
t2<-tt+1979
plot(t1,y,type="o",ann=FALSE,ylim=c(0,160),xlim=c(1975,2015))
lines(t2,yp)

输出结果为：

在这里插入图片描述